無限等比級数

 投資の複利計算では等比数列の和が、ケインズ経済学でも『乗数効果』を扱うには、無限等比級数の利用がかかせません。
ここでは、簡単に無限等比級数の和を書いてみようと思います。
大まかなイメージがつかめれば、乗数効果が把握しやすくなると思います。

無限等比級数の和

$$
まず、数列{an}がa_1,a_2,a_3,\dots,a_n,\dots \\
ここで、級数= a_1+a_2+a_3+\dots+a_n+\dots \\
と言います。\\
この数列の第1項からn項までの和は\\
S_n = \sum_{k=1}^{\infty} ar^{k-1} (r \neq 1) \dots ① \\
ここで、公比rが、-1 < r < 1 (|r| < 1)であれば、以下が成り立ちます 。\\
S_n = \sum_{k=1}^{\infty} ar^{k-1} = \frac{a(r^n – 1)}{r-1} (ar \neq 0) \dots ① \\
①の公比rは分数で表せるので、分数部分を利用して部分和S_nを\\
部分和S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} \dots ② となります。\\
ここで分数の分母が2つの積で表せるので、部分分数にわけます。\\
S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} ( \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} ) \\
∴ S_n = (\frac{1}{1} – \frac{1}{2} ) + (\frac{1}{2} -\frac{1}{3} ) + \dots + ( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} )\\
= 1 – \frac{1}{n+1}\\
ここで、n \to \infty なので、S_n = 1となり収束します。\\
逆に、r \leq -1 ,1 \leq r (|r| \geq 1)であれば、極限がなく発散します。
$$

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