相関

 よく投資では通貨ペア同士で、「相関がある」、「相関がない」という表現をすることがあります。
ポートフォリオを組むときにも、逆相関があるものを組み込みリスク回避をするために使われたりしますが、相関とはどの様な式で算出されているのでしょうか。
計算式がわかれば、相関のイメージを把握し易くなります。
では、相関係数の求め方を書いてみます。

$$大きさNの2変量のデータ(x,y)=(xi,yi)があるとします。
\\ただし、i = 1,2,3,\dots,N$$

NO$$変量xi$$$$変量yi$$
1$$x1$$$$y1$$
2$$x2$$$$y2$$
3$$x3$$$$y3$$
$$\dots$$$$\dots$$$$\dots$$
N$$xN$$$$yN$$

この変量xと変量yの関係を考えることが、相関です。
まず、2変量の分散を考えます。
$$\sigma x^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(xi – \bar{x})^2\\
\sigma y^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(yi – \bar{y})^2\\
ここで、N\bar{x}=\sum_{i=1}^{N}xi ,N\bar{y}=\sum_{i=1}^{N}yi なので、\\
\sigma x^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}xi^2 – \bar{x}^2\\
\sigma y^2 = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}yi^2 – \bar{y}^2$$

$$xとyの共分散\sigma xy\\
\sigma xy = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(xi-\bar{x})(yi-\bar{y})$$

いよいよ相関係数です。

$$相関係数R=\frac{\sum_{i=1}^{N} (xi-\bar{x})(yi-\bar{y})}{N\sigma x \sigma y} \dots ①$$

相関係数Rの式①より、変量xが相加すると変量yも増加、または変量xが減少すると、変量yも減少すると、共分散は0より大きくまります。
逆に変量xが増加すると変量yが減少、または、変量xが減少すると変量yが増加すると、共分散は0より小さくなります。
また、比例、反比例の関係が全くない場合は、共分散は0に近くなります。
よって、相関係数Rは、-1≦ R ≦ 1の値をとります。
Rが1に近ければ、正の相関が強く、−1に近ければ負の相関が強いことになります。
また、Rが0に近ければ、相関関係はないということです。
実際は、Rが0.5より大きければ、正の相関が、-0.5より小さければ負の相関があると考えて良いと思います。

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