自然対数(ネイピア数)

数学を学んでいると、いくつかの美しい数があります。
『ネイピア数(自然対数)』は私が美しいと思う数の一つです。
自然対数はあらゆる投資の根幹のひとつではないかと思っています。

自然対数は簡単に言えば、どの様なものでしょうか。
まず、以下の指数関数のグラフを考えます。

$$ y=a^x の底であるaをいくつか変数を代入してみます。\\
下のグラフで赤は、\\y=(\frac{1}{4})^x、\\青はy=3^x、\\黄色はy=x+1のグラフです。
$$

自然対数

$$ここで、指数関数の基本定義である\\
a^0=1よりy=a^xのグラフは\\
aがどの様な値をとっても、\\
y軸と座標(0,1)で交わります。\\
ここで、f^{\prime}(x)で、x=0の時、\\
微分した値は、座標(0,1)において、\\
曲線との接線の傾きとなります。
aの値によって、接線の傾きは変化しますが、\\
(a^x)^{\prime}=1\\
つまり、接線の傾きが1にある時のaの値を求めてみます。\\
(a^x)^{\prime}= \lim_{h \to 0}\frac{a^h -1}{h} \\
a \simeq (1+h)^\frac{1}{h}\\
a = \lim_{h \to 0}(1+h)^\frac{1}{h} \\
ここで傾きが1になる底をeとおき、\\
hを0でない限りなく0に近い数に近づけて極限を求めると、\\
e=2.7181823\dots \\
という数が出現します。\\
このeを自然対数の底(ネイピア数)を言います。
$$

$$このネイピア数が美しく、\\
色々な投資理論でも重要に扱われるのは、\\
(e^x)^{\prime}=e^x \\
\int e^x dx = e^x + C \\
のためだと私は思っています。
$$

この微分しても、積分しても変わらない神秘、美しさが、
投資分析の分野でもものすごく役だっています。

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